Tugas Ilmu Matematika dan Alamiah Dasar

1. HIMPUNAN dan DIAGRAM VENN

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang anggota-anggotanya dapat didefisikan dengan jelas. Sedangkan bukan himpunan adalah kumpulan benda \ objek yang anggota-anggotanya tidak dapat terdefisikan dengan jelas.

• Contoh kumpulan yang merupakan himpunan :

1. Kumpulan hewan menyusui

Anggotanya dapat ditentukan dengan jelas yaitu kerbau, kambing, sapi, kuda dan lain-lain

2. Kumpulan warna lampu lalu lintas

Anggotanya dapat ditentukan dengan jelas yaitu merah, kuning, hijau.

3. Kumpulan bilangan asli kurang dari 6

Anggotanya dapat ditentukan dengan jelas yaitu 1, 2, 3, 4, 5.

• Contoh kumpulan yang bukan himpunan:

1. Kumpulan gadis cantik

2. Kumpulan orang tinggi

3. Kumpulan lukisan yang menarik

Anggota kumpulan tersebut tidak dapat ditentukan dengan jelas cantik, tinggi, dan menarik sifatnya relatif antara yang satu dengan yang lain tidak sama dalam menilai.

DIAGRAM VENN

Diagram venn adalah suatu gambar yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan dalam himpunan semesta. Ciri dari diagram venn adalah adanya bilangan asli dan himpunan semesta. Contohnya:

Buat diagram venn jika
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = { 1, 4, 6, 7 }
B = { 2, 4, 5, 8 }

   2. Relasi dan fungsi 

              Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain.
            Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.
           Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.
          Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.

        Kali ini, diperkenalkan 4 cara menyatakan relasi, yaitu:
1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan
2. Dengan Diagram Panah
3. Dengan Diagram Cartesius
4. Dengan Rumus

       Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain).
       Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).
Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x.

Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) = 3 + 2.

Sifat Fungsi :
1) Fungsi f :A? B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.
2) Fungsi f :A? B disebut fungsi INJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.
3) Fungsi f:A? B disebut fungsi SUBJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.
4) Fungsi f:A? B disebut fungsi BIJEKTIF. Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)
Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut 

    KORESPONDENSI SATU SATU.
Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika banyaknya anggota A = banyaknya anggota B.

• Perbedaan Fungsi dan Relasi

·         Relasi adalah hubungan antara suatu himpunan (domain) dengan himpunan lainnya.

·         Fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan (domain) dengan tepat satu anggota ke himpunan lainnya (kodomain).

ª      Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 

ª      Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

ª      Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

tugas iad 4 Himpunan, Fungsi, dan Relasi

1. Himpunan dan bilangan
    a. Pengertian Himpunan
        Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap  sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide  yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram venn

Teori himpunan yang baru diciptakan pada akhir abad ke - 19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.
contoh himpunan adalah : himpunan bilangan genap kurang dari 50, himpunan binatang yang bernafas dengan paru - paru, dsb.

 b. Diagram Venn
     Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek. Sebagai bagian ilmu matematika, diagram Venn ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1880 oleh John Venn untuk menunjukkan hubungan sederhana dalam topik-topik di bidang logika, probabilitas, statistik, linguistik dan ilmu komputer.
contoh diagram venn :






c. Hubungan antara himpunan dengan diagram venn
    Diagram venn merupakan bentuk yang digunakan untuk menyatakan atau menggambarkan suatu himpunan.
sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_%28matematika%29
http://id.wikipedia.org/wiki/Diagram_Venn

2. Fungsi dan Relasi

a. Definisi Relasi

   Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain.

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.

b. Definisi  Fungsi

    Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain).

Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).

Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf

lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f

kepada x. Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) = 3 + 2.

c. Perbedaan Fungsi dan Relasi

    Misal daerah asal itu adalah himpunan A, dan daerah kawan itu himpunan B, maka sebuah fungsi f dari Himpunan A ke himpunan B bisa kita ibaratkan seperti ini :
Himpunan A adalah himpunan Anak-Anak manusia, dan himpunan B adalah iBu-iBu. Seorang anak pasti dilahirkan dari seorang ibu, tidak ada anak yang tidak punya ibu. Kalo ibu-ibu, mereka bisa punya anak satu, dua, sepuluh bahkan tidak punya anak pun bisa. Diagram panah di bawah ini adalah contoh fungsi :

Sedangkan Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah sebuah aturan yang menghubungkan anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. Kalo diibaratkan himpunan A adalah kucing jantan, dan himpunan B adalah kucing Betina. Saya yakin, tidak ada aturan yang mengikat para kucing. Kucing jantan bebas berhubungan dengan kucing betina apapun, berapapun, begitu juga sebaliknya. Di bawah ini adalah contoh diagram panah menunjukan relasi dari “kucing kawin” :

C.  Domain, Kodomain, dan Range

     Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Sumber : alinelizabeth2.blogspot.com/2013/06/fungsi-domain-kodomain-dan-range.html
d. Contoh soal

HIMPUNAN

1.    Diketahui :

A = { b,u,n,d,a }

B = { I,b,u,n,d,a }

C = { lima bilangan asli yang pertama }

D = { bilangan cacah kurang dari 6 }

Pasangan himpunan yang ekuivalen adalah…

Jawab :

Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak.

A = { b,u,n,d,a }         → n(A) = 5

B = { I,b,u,n,d,a }       → n(B) = 6

C = { 1,2,3,4,5 }         → n(C) = 5

D = { 0.1.2.3.4.5 }      → n(D) = 6

Himpunan yang ekuivalen adalah A~C dan B~D

RELASI

1.    Lima orang siswa memilih kegiatan masing-masing. Adit dengan basket , Candra dengan karate, Yoseph dengan voli, Ilham dengan tenis meja dan Joni dengan judo. Tuliskan relasi tersebut dengan himpunan pasangan berurutan!

Jawab :

{(Adit,basket),(Candra,karate),(Yoseph,voli),(Ilham,tenis meja),(Joni,judo)}

FUNGSI

1.    Suatu fungsi dinotasikan dengan f:x →kx + 12 . Jika f(2) = 24 , maka rumus fungsi itu adalah…

Jawab :

f(2) = 24

24 = 2k + 12

24-12 = 2k

12 = 2k

6  = 2k

Jadi , rumus fungsi itu adalah 6x + 12