1. HIMPUNAN
dan DIAGRAM VENN
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek
yang anggota-anggotanya dapat didefisikan dengan jelas. Sedangkan bukan
himpunan adalah kumpulan benda \ objek yang anggota-anggotanya tidak dapat
terdefisikan dengan jelas.
- Contoh kumpulan yang merupakan himpunan :
1. Kumpulan
hewan menyusui
Anggotanya
dapat ditentukan dengan jelas yaitu kerbau, kambing, sapi, kuda dan lain-lain
2. Kumpulan
warna lampu lalu lintas
Anggotanya
dapat ditentukan dengan jelas yaitu merah, kuning, hijau.
3. Kumpulan
bilangan asli kurang dari 6
Anggotanya
dapat ditentukan dengan jelas yaitu 1, 2, 3, 4, 5.
- Contoh kumpulan yang bukan himpunan:
1. Kumpulan
gadis cantik
2. Kumpulan
orang tinggi
3. Kumpulan
lukisan yang menarik
Anggota
kumpulan tersebut tidak dapat ditentukan dengan jelas cantik, tinggi, dan
menarik sifatnya relatif antara yang satu dengan yang lain tidak sama dalam
menilai.
DIAGRAM VENN
Diagram venn adalah suatu gambar yang
digunakan untuk menyatakan suatu himpunan dalam himpunan semesta. Ciri dari
diagram venn adalah adanya bilangan asli dan himpunan semesta. Contohnya:
Buat diagram
venn jika
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = { 1, 4, 6, 7 }
B = { 2, 4, 5, 8 }
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = { 1, 4, 6, 7 }
B = { 2, 4, 5, 8 }
2. Relasi dan
fungsi
Relasi adalah
suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain.
Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.
Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.
Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.
Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.
Kali ini, diperkenalkan 4 cara menyatakan relasi, yaitu:
1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan
2. Dengan Diagram Panah
3. Dengan Diagram Cartesius
4. Dengan Rumus
1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan
2. Dengan Diagram Panah
3. Dengan Diagram Cartesius
4. Dengan Rumus
Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain).
Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).
Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x.
Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) = 3 + 2.
Sifat Fungsi :
1) Fungsi f :A? B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.
2) Fungsi f :A? B disebut fungsi INJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.
3) Fungsi f:A? B disebut fungsi SUBJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.
4) Fungsi f:A? B disebut fungsi BIJEKTIF. Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)
Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut
1) Fungsi f :A? B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.
2) Fungsi f :A? B disebut fungsi INJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.
3) Fungsi f:A? B disebut fungsi SUBJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.
4) Fungsi f:A? B disebut fungsi BIJEKTIF. Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)
Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut
KORESPONDENSI SATU SATU.
Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika banyaknya anggota A = banyaknya anggota B.
Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika banyaknya anggota A = banyaknya anggota B.
- Perbedaan Fungsi dan Relasi
· Relasi adalah hubungan
antara suatu himpunan (domain) dengan himpunan lainnya.
· Fungsi adalah relasi
khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan (domain) dengan tepat satu
anggota ke himpunan lainnya (kodomain).
ª
Domain/daerah asal = himpunan P = {
1,2,3,4
ª
Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }
ª
Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }
tugas iad 4
Himpunan, Fungsi, dan Relasi
1. Himpunan
dan bilangan
a. Pengertian Himpunan
Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.
a. Pengertian Himpunan
Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.
Irisan dari
dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram venn
Teori himpunan yang baru diciptakan pada akhir abad ke
- 19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang
mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan
bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap
sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan
sumber dari mana semua matematika diturunkan.
contoh himpunan adalah : himpunan bilangan genap kurang dari 50, himpunan binatang yang bernafas dengan paru - paru, dsb.
b. Diagram Venn
Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek. Sebagai bagian ilmu matematika, diagram Venn ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1880 oleh John Venn untuk menunjukkan hubungan sederhana dalam topik-topik di bidang logika, probabilitas, statistik, linguistik dan ilmu komputer.
contoh diagram venn :
c. Hubungan antara himpunan dengan diagram venn
Diagram venn merupakan bentuk yang digunakan untuk menyatakan atau menggambarkan suatu himpunan.
sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_%28matematika%29
http://id.wikipedia.org/wiki/Diagram_Venn
contoh himpunan adalah : himpunan bilangan genap kurang dari 50, himpunan binatang yang bernafas dengan paru - paru, dsb.
b. Diagram Venn
Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek. Sebagai bagian ilmu matematika, diagram Venn ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1880 oleh John Venn untuk menunjukkan hubungan sederhana dalam topik-topik di bidang logika, probabilitas, statistik, linguistik dan ilmu komputer.
contoh diagram venn :
c. Hubungan antara himpunan dengan diagram venn
Diagram venn merupakan bentuk yang digunakan untuk menyatakan atau menggambarkan suatu himpunan.
sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_%28matematika%29
http://id.wikipedia.org/wiki/Diagram_Venn
2. Fungsi
dan Relasi
a. Definisi
Relasi
Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan
lain.
Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.
Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.
Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.
Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.
b.
Definisi Fungsi
Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu
himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari
suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain).
Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).
Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf
lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f
kepada x. Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) = 3 + 2.
Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).
Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf
lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f
kepada x. Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) = 3 + 2.
c. Perbedaan
Fungsi dan Relasi
Misal daerah asal itu adalah himpunan A, dan daerah kawan itu himpunan B, maka
sebuah fungsi f dari Himpunan A ke himpunan B bisa kita ibaratkan
seperti ini :
Himpunan A adalah himpunan Anak-Anak manusia, dan himpunan B adalah iBu-iBu. Seorang anak pasti dilahirkan dari seorang ibu, tidak ada anak yang tidak punya ibu. Kalo ibu-ibu, mereka bisa punya anak satu, dua, sepuluh bahkan tidak punya anak pun bisa. Diagram panah di bawah ini adalah contoh fungsi :
Himpunan A adalah himpunan Anak-Anak manusia, dan himpunan B adalah iBu-iBu. Seorang anak pasti dilahirkan dari seorang ibu, tidak ada anak yang tidak punya ibu. Kalo ibu-ibu, mereka bisa punya anak satu, dua, sepuluh bahkan tidak punya anak pun bisa. Diagram panah di bawah ini adalah contoh fungsi :
Sedangkan
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah sebuah aturan yang menghubungkan
anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. Kalo diibaratkan
himpunan A adalah kucing jantan, dan himpunan B adalah kucing Betina. Saya
yakin, tidak ada aturan yang mengikat para kucing. Kucing jantan bebas
berhubungan dengan kucing betina apapun, berapapun, begitu juga sebaliknya. Di
bawah ini adalah contoh diagram panah menunjukan relasi dari “kucing kawin” :
C. Domain, Kodomain, dan Range
Domain disebut
juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range
adalah daerah hasil.
contoh :
Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }
Relasi dari
himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".
Jika relasi
tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :
{
(1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.
Relasi di
atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai
tepat satu kawan anggota himpunan Q.
Dari fungsi
di atas maka :
Domain/daerah
asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }
Kodomain/daerah
kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }
Range/daerah
hasil = { 2,4,6,8 }
Sumber :
alinelizabeth2.blogspot.com/2013/06/fungsi-domain-kodomain-dan-range.html
d. Contoh soal
d. Contoh soal
HIMPUNAN
1. Diketahui :
A = { b,u,n,d,a }
B = { I,b,u,n,d,a }
C = { lima bilangan asli yang
pertama }
D = { bilangan cacah kurang dari 6 }
Pasangan himpunan yang ekuivalen
adalah…
Jawab :
Himpunan ekuivalen adalah himpunan
yang anggotanya sama banyak.
A = { b,u,n,d,a }
→ n(A) = 5
B = { I,b,u,n,d,a }
→ n(B) = 6
C = { 1,2,3,4,5
} → n(C) = 5
D = { 0.1.2.3.4.5
} → n(D) = 6
Himpunan yang ekuivalen adalah A~C
dan B~D
RELASI
1. Lima orang siswa memilih kegiatan
masing-masing. Adit dengan basket , Candra dengan karate, Yoseph dengan voli,
Ilham dengan tenis meja dan Joni dengan judo. Tuliskan relasi tersebut dengan
himpunan pasangan berurutan!
Jawab :
{(Adit,basket),(Candra,karate),(Yoseph,voli),(Ilham,tenis
meja),(Joni,judo)}
FUNGSI
1. Suatu fungsi dinotasikan
dengan f:x →kx + 12 . Jika f(2) = 24 ,
maka rumus fungsi itu adalah…
Jawab :
f(2) = 24
24 = 2k + 12
24-12 = 2k
12 = 2k
6 = 2k
Jadi , rumus fungsi itu adalah 6x
+ 12